طرح درس ریاضی :ساختن مکعب

چکیده:                
در این درس از یک موضوع واقعی برای کمک به تقویت تجسم فضایی و درک هندسی دانش آموزان استفاده می‌شود: اِما، که به تازگی در یک کارخانه جعبه سازی استخدام شده است، وظیفه ساخت جعبه‌های جواهری به شکل مکعب را بر عهده دارد. دانش آموزان به زهرا کمک می کنند تا تعداد "گسترده"‌های مختلفی را که مي‌توان رسم کرد، محاسبه کند و بعد به پيش‌بيني شكل مکعب‌هائي كه از اين گسترده‌ها ساخته خواهد شد، می‌پردازند.

توضیح اولیه:                  
در این درس از یک موضوع واقعی برای کمک به تقویت تجسم فضایی و درک هندسی دانش آموزان استفاده می‌شود: اِما، که به تازگی در یک کارخانه جعبه سازی استخدام شده است، وظیفه ساخت جعبه‌های جواهری به شکل مکعب را بر عهده دارد. دانش آموزان به زهرا کمک می کنند تا تعداد "گسترده"‌های مختلفی را که مي‌توان رسم کرد، محاسبه کند و بعد به پيش‌بيني شكل مکعب‌هائي كه از اين گسترده‌ها ساخته خواهد شد، می‌پردازند.

اهداف:

·    دانش آموزان مي‌توانند گسترده‌های دو بعدی گوناگونی را که قابل تبدیل شدن به یک مکعب سه بعدی به وسیله تا کردن باشند را ترسيم، مقایسه و تفاوت‌هاي آن‌ها را توصيف كنند.

·    دانش آموزان مي‌توانند ویژگی‌های گسترده‌ها و مکعب‌های حاصل از آن‌ها، از جمله مساحت سطوح، را بررسی كنند.

·         دانش آموزان مي‌توانند با دوران و برگرداندن گسترده‌هاي مختلف، آن‌ها را با هم مقایسه كنند.

وسایل لازم:

·         برگه‌ي فعالیت  جعبه ی گسترده

·         قطعه‌های مربع شکل کاغذی یا کاغذ شطرنجی (با واحد سانتی متر) برای برش و تا کردن

روش تدریس:                      
 

برگه فعالیت ساخت یک جعبه را بین دانش آموزان پخش کنید و مسأله را با صدای بلند برای آنان بخوانید. ممکن است بخواهید پیش از شروع درس اصطلاحات و مفاهیم زیر را با بچه ها مرور کنید:

·         مکعب

·         يال

·         مربع

·         گسترده

·         وجه

·         مساحت وجه‌ها

به علاوه مي‌توانيد یک جعبه جواهر کوچک را به همه‌ي کلاس نشان دهید تا دانش آموزان موضوع را بهتر درک کنند.                                   
نمونه‌اي از یک گسترده را تا کرده و به یک مکعب تبدیل کنيد و به دانش‌اموزان نشان دهيد ( مانند تصاویر 1 و 2 در برگه فعالیت ). به علاوه مي‌توانيد نمونه‌هائي از گسترده‌های غیر قابل تبدیل به مکعب هم به دانش آموزان نشان دهيد؛ مانند گسترده‌هایی که در این‌جا نشان داده شده‌اند. درباره اینکه چرا يك گسترده به یک مکعب تبدیل می‌شود یا نمی‌شود بحث کنید. بر این موضوع تأکید کنید که تصاویر 1 و 2، دو گسترده متفاوت و غیر قابل انطباق هستند که هر دو را می‌توان به مکعب تبدیل کرد. بپرسید: "آیا گسترده‌های دیگری هم وجود دارد که بتوان با آن‌ها مکعب ساخت؟" و نیز : "چند گسترده متفاوت وجود دارد؟ "

گسترده‌هایی که نمی‌توان با آ‌ن‌ها مکعب ساخت.

دانش آموزان را به گروه‌های 3 یا 4 نفره تقسیم کنید و به آنها قطعه‌های مربع شکل یا کاغذ شطرنجی بدهید. از آنها بخواهید تا گسترده‌های گوناگونی را ترسیم و تا کنند. دانش آموزان باید شکل همه گسترده‌های متفاوتی را که می‌سازند، ثبت کنند. ممکن است نیاز به توضیح اين نكته باشد که در این فعالیت همه گسترده‌ها تنها از مربع‌ها ساخته می‌شود.                                

به زودی دانش آموزان متوجه خواهند شد که همواره برای به وجود آوردن یک مکعب دقیقاً به 6 مربع نیاز دارند. از آن‌ها بخواهید تا سایر ویژگی‌های گسترده‌هایی با 6 مربع را که به مکعب تبدیل می‌شوند، توضیح دهند. همچنین بخواهید تا ویژگی‌های این گسترده‌ها را با گسترده‌هائي كه قابل تبدیل به مکعب نیستند مقایسه کنند. به ویژه از آنان بخواهید تا به این پرسش‌ها توجه کنند:

·         چه ویژگی‌های مشترکی بین گسترده‌هایی که ساخته‌اید وجود دارد؟

·         در هر گسترده چند مربع وجود دارد؟

·         مربع‌ها را به چه شیوه‌هایی می‌توان چید؟ چه آرایش‌هائي از مربع‌ها تبدیل به یک مکعب نخواهد شد؟

به دانش آموزان فرصت دهید تا حالات مختلف را بررسی کنند و آنان را تشویق کنید تا گسترده‌های هر چه بیشتری را بیابند. از دانش آموزان بخواهید تا انطباق پذيري گسترده‌های ظاهراً متفاوت را آزمایش کنند. بپرسید: "آیا می‌توان گسترده‌ای را با جابه‌جا کردن، بر یک گسترده دیگر کاملاً منطبق کرد؟" برای کمک به دانش آموزان به منظور پيدا كردن همه‌ي 11 گسترده‌ای که قابل تبدیل شدن به مکعب هستند، مي‌توانيد با روشی هدف‌مند آنان را ترغیب کنید تا به تعداد مربع‌ها در ردیف میانی توجه کنند. مثلاً دانش آموزان می‌توانند گسترده یک مکعب را با دو، سه یا چهار مربع در ردیف مياني بسازند، اما گسترده‌هایی با پنج یا شش مربع در یک ردیف قابل قبول نيستند (توجه کنید كه هر دو تصوير 1 و 2 نيز، چهار مربع در یک ردیف دارند).                                     
در همان حال که دانش‌ آموزان گسترده‌ها را بررسی می‌کنند، از آن‌ها بخواهید تا خصوصیات مکعب‌هایشان مانند تعداد وجه‌ها، یال‌ها، رأس‌ها و مساحت را نیز ثبت کنند و نتایج آن را با خصوصیات گسترده‌هایشان مقایسه کنند. آنها ممکن است دریابند که به طور مثال، با وجود اینکه 6 مربع هر گسترده با 6 وجه در هر مکعب منطبق می‌شود، اما هر گسترده دارای 14 ضلع است، در حالیکه هر مکعب تنها 12یال دارد. از دانش آموزان بخواهید تا با استفاده از مهارت تجسم سه بعدی خود، این اختلاف ظاهری را توضیح دهند. مي‌توانيد از آن‌ها بپرسید: "وقتي كه گسترده‌ها را تا مي‌كنيم، چه اتفاقی برای ضلع‌ها و لبه‌ها می‌افتد؟"                 
برای پایان دادن به درس، از گروه‌ها بخواهيد تا در جلسه بعدی یافته های خود را ارائه دهند و پاسخ‌هایشان را در کلاس اثبات کنند. به دانش آموزان اجازه دهید تا آن‌چه را که درباره گسترده‌های قابل تبدیل به مکعب و غیر قابل تبدیل به مکعب کشف کرده‌اند، به بحث بگذارند. از آن‌ها بخواهید تا نتایج خود را مقایسه و جمع‌بندی کنند و از آن‌ها دفاع نمایند. اگر کلاس توانایی یافتن هر یازده گسترده ممکن را دارد، آنان را تشویق کنید تا توضیح دهند که چگونه دریافته اند که این گسترده‌ها، تنها حالتهای ممکن برای ساختن يك مکعب هستند. برای سنجش نتيجه‌ي کارشان، می‌توانند از " فرم گسترده های مکعب " استفاده کنند تا از درستی آن مطمئن شوند.                                   
این فرم (یا ابزار) همه 11 حالت ممکن برای گسترده‌ي یک مکعب را در اختیار قرار می‌دهد. البته پیش از استفاده از این فرم، باید همه گروه‌ها یافته‌هایشان را در کلاس ارائه کرده باشند.                                 

پرسش‌هایی برای دانش آموزان:

·    چه خصوصیات مشترکی در همه گسترده هایی که مکعب می‌سازند وجود دارد؟                          
( همه گسترده‌های قابل قبول 6 مربع و 14 لبه دارند).

·    چه نوع گسترده‌هایی مکعب نمی‌سازند؟ چرا؟                       
( گسترده‌هایی با بیشتر یا کمتر از 6 مربع، مکعب نمی‌سازند.           همچنین، در بسیاری از گسترده‌هایی که 6 مربع دارند، دو تا از مربع‌ها روی هم قرار می گیرند. مثال روشن آن، حالتی است که در گسترده‌ي مورد نظر چهار مربع در یک رأس مشترک باشند. علاوه بر این، وقتی که دو مربع در یک طرف ردیف میانی قرار بگیرند و یا وقتی که بیش از 4 مربع در یک ردیف واقع شوند، مکعبی ساخته نخواهد شد).

·    آیا روش سریعی وجود دارد که بدون تا کردن، تشخیص دهیم که آیا یک گسترده مکعب می‌سازد یا نه؟                              
( اگر در یک گسترده هر یک از مواردی که در بالا توضیح داده شد، وجود داشته باشد، نمی توان با آن مکعب ساخت و این موارد را می‌توان با مشاهده‌ي بدون تاكردن، تشخیص داد).

·    چگونه می توانید تشخیص دهید که دو گسترده کاملاً همانند هستند؟
(وقتي بتوان با دوران یا برگرداندن یکی از گسترده‌ها، آن را کاملاً منطبق بر دیگری كرد).

·    چه نوع ویژگی‌هایی در مکعب نهایی شما وجود دارد؟ چگونه این ویژگی ها را با ویژگی‌های گسترده آن‌ها مقایسه می کنید؟
( مساحت بیرونی سطوح مکعب با مساحت گسترده آن مساوی است. مکعب 12 یال يا لبه دارد، در حالی که گسترده دارای 14 لبه است). 
گزارش و بازتاب معلم:

·    کدام يك از گسترده‌ها را دانش آموزان توانستند به سرعت ترسيم كنند؟ تجسم و طراحي کدام‌ يك از گسترده‌ها برای آنان مشکل‌تر بود؟ چرا؟

·         چه فعالیت‌هایی می‌توانید انجام دهید تا دانش آموزان را برای این درس آماده کنید؟

·    آیا این فعالیت برای دانش آموزان گیرا و جذاب بود؟ به نظر شما کدام بخش از درس جذابترین قسمت برای آنان بود؟

·         آمیختن مسائل فنی و تولیدی چگونه بر این درس و یادگیری دانش آموزان تأثیر داشت؟

·         این درس چگونه با شیوه های یادگیری شنیداری، بساوایی و دیداری مرتبط بود؟

·    آیا این درس باعث افزايش مهارت‌های تجسم و تصور در دانش آموزان شده است؟ آیا آنان قادر به تشخیص ارتباط میان طرح‌های دو بعدی و حجم‌هاي سه بعدی که از اين طرح‌ها به وجود می‌آید، بودند؟

·         چه مطالب دیگری را با این درس تلفیق کردید؟ آیا این تلفیق مناسب و موفقیت آموز بود؟

·    آیا به هنگام تدریس احساس می‌کردید برخی تنظیم‌ها و انطباق‌ها ضروری است؟ اگر چنین بود، فکر می کنید در چه مواردي و در کدام قسمت‌ها این انطباق ها مؤثر بودند؟

توسعه:              
از دانش آموزان بخواهید تا گسترده‌ای برای یک جعبه پاپ کورن معمولی طراحی کنند. يك طرح بکشند، سپس آن را ببرند و تا كنند. ببینید آیا می‌توانند گسترده جعبه‌هایی را که دیده‌اند طراحی کنند. همچنین مي‌توانيد از آنان بخواهید تا با استفاده از patch tool، گسترده‌هایی برای سایر احجام سه بعدی به وجود بیاورند که در آنها از مثلث، شش ضلعی و لوزی استفاده شود.

این مسئله های مشکل تر را نیز می توانید به دانش آموزان بدهید:

·    شرکت جعبه سازی ACME می‌خواهد تا این جعبه‌های جواهر را تا آنجا که ممکن است، با صرفه جوئي بيش‌تري تولید کند. آنها می‌توانند با ساختن حداکثر تعداد جعبه‌ها از یک برگ مقوا، در هزینه‌ها صرفه جویی‌کنند. اگر شرکت از مقواهایی به ابعاد 20*20 سانتی متر استفاده کند، حداکثر چند گسترده مکعب ( از هر نوع ) می توانید روی یک برگه مقوا ترسیم کنید؟ (شما می‌توانید از همه شکل‌هاي مختلف گسترده‌هایی که قابل تبدیل به مکعب هستند استفاده کنید و آن‌ها را به هر صورتي که می‌خواهید روی برگه مقوا تنظیم کنید).

·    یک گسترده را بر روی یک برگ کاغذ به ابعاد 29*21 (A4) رسم کنید به طوری که بزرگترین مکعب ممکن ساخته شود. از کدام گسترده برای این کار استفاده مي‌كنيد؟ حجم مكعب ساخته شده از آن چقدر خواهد بود؟

ارزشیابی:

·         از دانش آموزان بخواهید تا یافته‌ها و نتایج خود را به همکلاسی‌هایشان توضیح دهند.

·    از دانش آموزان بخواهید تا یک نامه به " اِما " و "رون " بنویسند و گسترده‌های متفاوتشان را که مي‌توان با آن‌ها مکعب ساخت، به آن دو نشان دهند. بخواهید تا ویژگی‌های یک مکعب و گسترده‌های آن را شرح دهند و بگويند که چرا معتقدند تمامی گسترده‌های ممکن برای مکعب را یافته‌اند.